Бул алгебрасының теңбе-теңдік заңдылықтары. Логикалық функцияларды теңбе-теңдік заңдылықтарына сай түрлендіру.

Лекция 2: Бул алгебрасының
теңбе-теңдік заңдылықтары. Логикалық функцияларды теңбе-теңдік заңдылықтарына
сай түрлендіру

Лекцияның мақсаты:

Бұл лекцияның мақсаты – студенттерге Бул алгебрасының теңбе-теңдік заңдылықтарын түсіндіру және оларды логикалық функцияларды оңтайландыру үшін қалай қолдануға болатынын үйрету. Бұл білім логикалық схемаларды оңайлату және олардың тиімділігін арттыру үшін қажет.

Лекцияның тапсырмалары:

1. Бул алгебрасының негізгі теңбе-теңдік заңдылықтарын түсіну және оларды логикалық функцияларды түрлендіруде қолдануды үйрену.
2. Логикалық функцияларды теңбе-теңдік заңдылықтарына сай түрлендіру арқылы схемаларды оңтайландыру.
3. Бул алгебрасын қолдану арқылы логикалық функциялардың қарапайым әрі ықшам түрлерін алуға жаттығу.

1. Бул алгебрасының теңбе-теңдік заңдылықтары

Бул алгебрасы – сандық схемотехника мен логикалық функцияларды өңдеу негізінде қолданылатын математикалық жүйе. Бул алгебрасындағы теңбе-теңдік заңдылықтары логикалық функцияларды ықшамдау үшін қолданылады. Бұл заңдар сандық схемаларды оңайлатып, олардың жұмысын тиімді етеді. Бул алгебрасының негізгі заңдылықтары:

Негізгі теңбе-теңдік заңдылықтары

- Кіріспе заңдары (Identity Laws):
  - A + 0 = A – Қосу операциясында 0 ешқандай әсер етпейді.
  - A · 1 = A – Көбейту операциясында 1 ешқандай әсер етпейді.

- Нөлдеу және бірлік заңдары (Null and Domination Laws):
  - A + 1 = 1 – Қосу операциясында 1 нәтиже береді.
  - A · 0 = 0 – Көбейту операциясында 0 нәтиже береді.

- Екі еселену заңдары (Idempotent Laws):
  - A + A = A – Өзін өзі қосу ешқандай өзгеріс енгізбейді.
  - A · A = A – Өзін өзі көбейту ешқандай өзгеріс енгізбейді.

- Қосымша заңдары (Complement Laws):
  - A + Ā = 1 – Қосымша кері мәні нәтиже береді.
  - A · Ā = 0 – Қосымша кері мәні нөлге тең.

- Коммутативтік заңдар (Commutative Laws):
  - A + B = B + A – Қосылу орнына тәуелсіз.
  - A · B = B · A – Көбейту орнына тәуелсіз.

- Ассоциативтік заңдар (Associative Laws):
  - (A + B) + C = A + (B + C) – Қосылу тәртібі нәтижеге әсер етпейді.
  - (A · B) · C = A · (B · C) – Көбейту тәртібі нәтижеге әсер етпейді.

- Дистрибутивтік заңдар (Distributive Laws):
  - A · (B + C) = (A · B) + (A · C) – Көбейту қосуға таралады.
  - A + (B · C) = (A + B) · (A + C) – Қосу көбейтуге таралады.

- Де Морган заңдары (De Morgan's Laws):
  - Ā · B = Ā + B
  - Ā + B = Ā · B

2. Логикалық функцияларды теңбе-теңдік заңдылықтарына сай түрлендіру

Бул алгебрасының заңдылықтарын логикалық функцияларды ықшамдап жазу үшін қолдануға болады. Түрлендіру кезінде логикалық функциялардың мәні өзгермей, олардың көрінісі оңайлатылған формаға көшеді.

Мысал 1

Келесі логикалық функцияны ықшамдайық:
F = A · (B + A)

1. Дистрибутивтік заңды қолданамыз:
   F = A · B + A · A

2. Екі еселену заңын қолданамыз (A · A = A):
   F = A · B + A

3. Дистрибутивтік заңды кері бағытта қолданамыз:
   F = A · (B + 1)

4. Нөлдеу және бірлік заңын қолданамыз (B + 1 = 1):
   F = A · 1

5. Кіріспе заңына сәйкес (A · 1 = A):
   F = A

Осылайша, бастапқы күрделі функция F = A · (B + A) түрлендіру нәтижесінде қарапайым F = A функциясына айналды.

Мысал 2

Келесі логикалық функцияны қарастырайық:
F = (A + Ā) · B

1. Қосымша заңын қолданамыз (A + Ā = 1):
   F = 1 · B

2. Кіріспе заңын қолданамыз (1 · B = B):
   F = B

Бұл түрлендірудің нәтижесінде F = (A + Ā) · B логикалық функциясы тек F = B түріне дейін оңайлатылды.

3. Бул алгебрасын қолдану арқылы логикалық функцияларды оңтайландырудың практикалық маңызы

Бул алгебрасының теңбе-теңдік заңдылықтарын пайдалану арқылы сандық схемотехникадағы функцияларды оңайлату және ықшамдау мүмкіндігі артады. Логикалық функцияларды ықшамдау арқылы:

- Орындалу жылдамдығы артады, өйткені схемадағы операциялар саны азаяды.
- Қуат тұтыну төмендейді, себебі қажетсіз логикалық элементтерді алып тастау арқылы энергия үнемделеді.
- Жүйенің сенімділігі артады, себебі компоненттер саны азайғанда істен шығу ықтималдығы төмендейді.

Бул алгебрасының заңдылықтарын дұрыс түсініп, логикалық функцияларды оңтайландыру сандық жүйелердегі схемалардың күрделілігін азайтып, олардың жұмысын тиімді етеді.

Қорытынды

Бұл лекцияда Бул алгебрасының теңбе-теңдік заңдылықтары мен олардың логикалық функцияларды түрлендіруде қолданылу тәсілдері қарастырылды. Бул алгебрасының заңдылықтарын дұрыс пайдалану схемаларды оңайлату және жүйенің жалпы тиімділігін арттыру үшін өте маңызды. Студенттер бұл білімді сандық схемотехникадағы практикалық есептерде қолдана отырып, сандық құрылғыларды жобалауда жоғары нәтижелерге жете алады.